一元四次方程的常用解法

方程兩邊同時(shí)除以最高次項(xiàng)的系數(shù)可得 (1)

移項(xiàng)可得 x4+bx3=-cx2-dx-e (2) 兩邊同時(shí)加上 ，可將（2）式左邊配成完全平方，

方程成為 (3)

在（3）式兩邊同時(shí)加上

可得

(4)

（4）式中的y是一個(gè)參數(shù)。當(dāng)（4）式中的x為原方程的根時(shí)，不論y取什么值，（4）式都應(yīng)成立。

特別，如果所取的y值使（4）式右邊關(guān)于x的二次三項(xiàng)式也能變成一個(gè)完全平方式，則對(duì)（4）對(duì)兩邊同時(shí)開方可以得到次數(shù)較低的方程。 為了使（4）式右邊關(guān)于x的二次三項(xiàng)式也能變成一個(gè)完全平方式，只需使它的判別式變成0，即 (5)

這是關(guān)于y的一元三次方程，可以通過塔塔利亞公式來求出y應(yīng)取的實(shí)數(shù)值。

把由（5）式求出的y值代入（4）式后，（4）式的兩邊都成為完全平方，兩邊開方，可以得到兩個(gè)關(guān)于x的一元二次方程。

解這兩個(gè)一元二次方程，就可以得出原方程的四個(gè)根。

費(fèi)拉里發(fā)現(xiàn)的上述解法的創(chuàng)造性及巧妙之處在于：第一次配方得到（3）式后引進(jìn)參數(shù)y，并再次配方把（3）式的左邊配成含有參數(shù)y的完全平方，即得到（4）式，再利用（5）式使（4）的右邊也成為完全平方，從而把一個(gè)一元四次方程的求解問題化成了一個(gè)一元三次方程及兩個(gè)一元二次方程的求解問題。 不幸的是，就象塔塔利亞發(fā)現(xiàn)的一元三次方程求根公式被誤稱為卡當(dāng)公式一樣，費(fèi)拉里發(fā)現(xiàn)的一元四次方程求解方法也曾被誤認(rèn)為是波培拉發(fā)現(xiàn)的 一般的四次方程還可以待定系數(shù)法解，這種方法稱為笛卡爾法，由笛卡爾于1637年提出。

先將四次方程化為x4+ax3+bx2+cx+d=0的形式。

令 ，整理后得到y(tǒng)4+py2+qy+r=0（1）

設(shè)y4+py2+qy+r=(y2+ky+t)(y2-ky+m)=y4+(t+m-k2)y2+k(m-t)y+tm

比較dy對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)，得t+m-k2=p，k(m-t)=q，tm=r

設(shè)k≠0，把t和m當(dāng)作未知數(shù)，解前兩個(gè)方程，得 ，

再代入第三個(gè)方程，得 。即k6+2pk4+(p2-4r)k2-q2=0

解這個(gè)方程，設(shè)k0是它的任意一根，t0和m0是k=k0時(shí)t和m的值那么方程（1）就成為

(y2+k0y+t0)(y2-k0y+m0)=0

解方程y2+k0y+t0=0和y2-k0y+m0=0就可以得出方程（1）的四個(gè)根，各根加上 就可以得出原方程的四個(gè)根。

有限（私有獨(dú)資）公司改制成股份公司，該怎么運(yùn)做

有限公司整體變更的工作程序

（一）盡職調(diào)查

對(duì)于改制項(xiàng)目，主要是有限公司成立以來的合法性、企業(yè)業(yè)務(wù)狀況和發(fā)展前景，具體包括以下幾個(gè)方面：

1、股本形成過程的合法性

從有限公司設(shè)立開始，需要關(guān)注設(shè)立時(shí)出資方式（系以現(xiàn)金、實(shí)物資產(chǎn)、無形資產(chǎn)等），除以現(xiàn)金出資外，實(shí)物資產(chǎn)出資的需要進(jìn)行審計(jì)、評(píng)估等相關(guān)手續(xù)；無形資產(chǎn)出資的需要履行相關(guān)手續(xù)，如技術(shù)認(rèn)定、評(píng)估，以土地出資的需要經(jīng)過土地評(píng)估機(jī)構(gòu)的評(píng)估，并需要經(jīng)國土管理部門的確認(rèn)（現(xiàn)階段擬上市公司已不允許以商標(biāo)、商譽(yù)等無形資產(chǎn)出資）

在有限公司持續(xù)經(jīng)營過程中，會(huì)出現(xiàn)增資擴(kuò)股、股權(quán)轉(zhuǎn)讓等，每一次股權(quán)變動(dòng)時(shí)的法律文件（董事會(huì)和股東會(huì)決議、驗(yàn)資報(bào)告、工商變更登記等）是否齊備，行為是否合法。

2、資產(chǎn)形成過程的合法性

有限公司持續(xù)經(jīng)營過程中，主要的經(jīng)營性資產(chǎn)的形成過程。

3、經(jīng)營狀況

1）經(jīng)營業(yè)績的真實(shí)性

2）關(guān)聯(lián)交易情況

3）財(cái)務(wù)制度狀況

4）財(cái)務(wù)數(shù)據(jù)的真實(shí)性

有限公司情況下，由于監(jiān)管相對(duì)較弱、管理者的管理水平、財(cái)務(wù)人員的水平等原因，不可避免存在財(cái)務(wù)數(shù)據(jù)的真實(shí)性問題，如民營企業(yè)大部分或多或少存在漏稅現(xiàn)象，對(duì)此只能從大的方面去把握，具體問題必須聘請注冊會(huì)計(jì)師對(duì)企業(yè)進(jìn)行審計(jì)后才能知道。

5）特定行業(yè)經(jīng)營的合法性。如醫(yī)藥行業(yè)，是否具備藥品生產(chǎn)許可證書、藥品批準(zhǔn)文號(hào)等；房地產(chǎn)行業(yè)是否具備房地產(chǎn)開發(fā)資質(zhì)；工程建筑企業(yè)是否具備工程建筑資質(zhì)；通信設(shè)備制造企業(yè)是否具備入網(wǎng)許可證是否等等。

6）公司研究開發(fā)能力和核心技術(shù)情況

7）業(yè)務(wù)發(fā)展前景

需要調(diào)閱的資料須為原始資料

（二）進(jìn)行企業(yè)規(guī)范工作

（三）企業(yè)聘請中介機(jī)構(gòu)

企業(yè)需要聘請財(cái)務(wù)顧問，負(fù)責(zé)改制方案的擬定、法律法規(guī)咨詢、上市前的輔導(dǎo)、中介機(jī)構(gòu)關(guān)系的協(xié)調(diào)以及相關(guān)文件資料的制作等等。同時(shí)聘請有證券從業(yè)資格的會(huì)計(jì)師，評(píng)估師和律師協(xié)助改制工作。

（四）確定改制方案

在財(cái)務(wù)顧問的主持和統(tǒng)一協(xié)調(diào)下，會(huì)同企業(yè)以及會(huì)計(jì)師、律師共同探討論證改制方案，包括發(fā)起人及其出資方式的確定、股本結(jié)構(gòu)設(shè)置、財(cái)務(wù)審計(jì)、資產(chǎn)評(píng)估、財(cái)務(wù)制度建立、資產(chǎn)處置（包括非經(jīng)營性資產(chǎn)的剝離、土地使用權(quán)的處置、商標(biāo)使用權(quán)的處置等等）、人事勞資制度建立等等。

（五）進(jìn)行增資擴(kuò)股或股權(quán)轉(zhuǎn)讓工作

如果企業(yè)在需要對(duì)股本數(shù)量、發(fā)起人數(shù)量、股權(quán)結(jié)構(gòu)等進(jìn)行調(diào)整，或需要引進(jìn)戰(zhàn)略投資者，或?qū)嵤┕芾韺映止桑▎T工持股）等等，則需要進(jìn)行增資擴(kuò)股或股權(quán)轉(zhuǎn)讓工作。

（六）進(jìn)行評(píng)估和審計(jì)

確定改制基準(zhǔn)日，由具有證券從業(yè)資格的評(píng)估師對(duì)企業(yè)進(jìn)行評(píng)估。一般情況下，需要對(duì)企業(yè)進(jìn)行兩年又一期的評(píng)估。會(huì)計(jì)審計(jì)也一樣

（七）召開董事會(huì)和股東會(huì)，審議改制事項(xiàng)，簽署發(fā)起人協(xié)議，修改《公司章程》。

（八）名稱預(yù)先核準(zhǔn)

到當(dāng)?shù)毓ど绦姓芾砭洲k理股份有限公司名稱預(yù)先核準(zhǔn)程序。在辦理名稱預(yù)先核準(zhǔn)程序時(shí)，應(yīng)提交發(fā)起人協(xié)議、董事長簽署的名稱預(yù)先核準(zhǔn)申請表、董事會(huì)決議等文件。

（九）辦理國有股權(quán)設(shè)置事項(xiàng)

若有限公司股東中有國有企業(yè)或國有控股企業(yè)，則需要向國有資產(chǎn)管理部門申請辦理國有股權(quán)設(shè)置事項(xiàng)。

（十）申請變更

在改制申請文件（主要包括發(fā)起人協(xié)議、公司章程、財(cái)務(wù)審計(jì)報(bào)告、驗(yàn)資報(bào)告、董事會(huì)股東會(huì)決議等）準(zhǔn)備就緒以后，申請變更。

（十一）股份公司設(shè)立

在獲得批準(zhǔn)以后，企業(yè)召開創(chuàng)立大會(huì)暨第一次股東大會(huì)、董事會(huì)、監(jiān)事會(huì)，通過公司籌建報(bào)告，選舉董事長，確定經(jīng)營班子等。

在創(chuàng)立大會(huì)召開后30天內(nèi)，由股份公司董事會(huì)向省級(jí)工商行政管理部門申請?jiān)O(shè)立登記。